Die Markov-Kette

[Merlin]

Der russische Mathematiker Andrej Andrejewitsch Markow (* 2./14. Juni 1856 in Rjasan; † 20. Juli 1922 in Petrograd) leistete wesentliche Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie. Vor allem jedoch wurde Markov für seine Theorie der stochastischen Prozesse bekannt:

So berechnete Markov 1913 z. B. die Buchstabensequenzen in der russischen Literatur, um die Notwendigkeit der Unabhängigkeit des Gesetzes der Großen Zahl nachzuweisen. Diese Berechnungen konnten darüber hinaus als Aussage über die Wohlgeformtheit der Orthographie von Buchstabenketten herangezogen werden.

Nach Markov sind auch die Markov-Ketten benannt, denen ich mich hier widmen möchte.

Eine Markov-Kette ist ein spezieller stochastischer Prozess, es wird hierbei in diskreter und in stetiger Zeit unterschieden. Das Ziel dieses Prozesses ist, Wahrscheinlichkeiten für ein zukünftiges Eintreten eines bestimmten Ereignisses anzugeben.

Die spezifische Eigenschaft einer Markov-Kette ist, dass durch die Kenntnis einer begrenzten Vorgeschichte ebensogute Prognosen über die zukünftige Entwicklung möglich sind wie bei der Kenntnis der ganzen Vorgeschichte eines Prozesses. Für eine Markov-Kette erster Ordnung bedeutet dies:

Die Zukunft eines Systems hängt nur noch von der Gegenwart, also dem aktuellen Zustand ab und nicht mehr von der Vergangenheit.

Damit sind Markov-Ketten sehr gut geeignet, um zufällige Zustandsänderungen eines Systems zu modellieren, wenn man einen Grund zur Annahme hat, dass diese Zustandsänderungen lediglich über einen begrenzten Zeitraum hinweg einen Einfluss aufeinander haben oder gar gedächtnislos sind.

Ein anschauliches Beispiel einer Markov-Kette

Es war Markov's Entdeckung, dass sich beliebige Nummern einer Zufallszahlenreihe ungewöhnlich häufig hintereinander zeigen. Um sich das Prinzip einer Markov-Kette bildhaft vorstellen zu können, greift man auf ein einfaches Beispiel zurück:
Man stellt sich eine Markov-Kette als eine Perlenkette vor, die beispielsweise aus 50 Perlen besteht. Diese 50 Perlen werden nun fortlaufend von 1 bis 50 durchnummeriert. Die Perlenkette „knetet“ man nun solange in einem Behältnis, bis sie sich ineinander verknotet hat.

Man sieht dann, wenn man die Perlenkette wieder aus ihrem Behälter entnimmt, dass sich einige ihrer Perlen nun anders angeordnet haben, zum Beispiel liegt die Perle Nr. 24 nun neben der Perle mit der Nummer 46.

Auffällig häufig jedoch findet man Perlen in ihrer ursprünglichen Ordnung bzw. nur durch eine oder zwei „fremde“ Perlen getrennt:

Es liegen zum Beispiel die Perlen mit den Nummern 7, 8 und 9 eng beieinander, sie werden lediglich durch eine oder maximal zwei „fremde“ Perlen unterbrochen. Als Zahlenfolge kann dieses Phänomen beispielsweise als

7- 29 – 8 – 27 – 46 – 9

dargestellt werden.

[Merlin]

Dies stellt der Ausgangspunkt für die Markov-Ketten beim Roulette dar, es sind in diesem Fall dann jedoch nur 37 „Perlen“ in der Kette. Ein Anwender einer Roulette-Strategie, welche auf den Markov-Ketten beruht, beobachtet anhand der zuletzt erschienen Zahlen, ob er eine Anordnung nach Markov findet.

Es folgen einige Beispiele von Permanenz-Abschnitten, welche das Phänomen der Markov-Ketten aufweisen:

Beispiel 1:

6
11
	19	←
35
	18	←
20		←
31
	19	←
6
	18	←
26
11
20		←

Beispiel 2:

29
	3
	9	←
	16
	9	←
	9	←
	30
17
17
10

Beispiel 3:

	32
24
15
11
0		←
15
	36	←
	14

Es ist an den Beispielen durch eine Markierung zu sehen, dass einige Zahlen von ihrem arithmetischen Zahlenwert her dicht beieinander liegen, teilweise sind sie gar identisch, und nur durch einen Coup, welcher eine beliebige andere Zahl sein kann, getrennt sind.

Das 3. Beispiel zeigt den Fall, bei welchem das Phänomen am Beginn bzw. am Ende der Kette liegt, im Roulette sind das die Zahlen 0 und 36. Nach der 36 beginnt die Zählung von vorne bei 0, die Zählung ist also 35, 36, 0, 1. Somit liegen die 36 und 0 zahlenmäßig nur um 1 auseinander.

Auffällig häufig folgt dann in den nächsten fünf Coups wiederum eine Zahl, welche in unmittelbarer Nähe des aufgefundenen Zahlenpaares liegt. Die Abstände der Zahlen liegen zwischen 0 und ±2.

Bei den Markov-Ketten handelt es sich also nicht um Häufungen im eigentlichen Sinne der Stochastik, sondern um etwas völlig eigenständiges, was selbst heutzutage nur teilweise erforscht ist.

[Merlin]

Kommen wir nun zur eigentlichen Spiel-Strategie der Markov-Ketten.

Ein Satzsignal ergibt sich, sobald zwei Zahlen erschienen sind, welche eine Differenz von maximal 2 aufweisen, in ihrem Zahlenwert also maximal ±2 auseinander sind und – dies ist wichtig – durch einen Coup getrennt sind.

Beispiele für ein Satzsignal wären:

Zahlenpaarung 22 – 13 – 24
Die 22 und die 24 weisen eine Differenz von 2 auf und sind zudem durch die 13 getrennt.

Zahlenpaarung 15 – 11 – 15
Die beiden Coups mit der 15 haben die Differenz 0 und liegen um einen Coup auseinander.

Zahlenpaarung 7 – 26 – 8
Die 7 und die 8 weisen eine Differenz von 1 auf, zudem liegen sie nur 1 Coup auseinander.

Zahlenpaarung 1 – 21 – 36
Die 1 und die 36 liegen in ihrem Zahlenwert auch nur um 1 auseinander, dazwischen liegt nur die 0. Zudem sind diese beiden Zahlen durch die 21 um einen Coup voneinander getrennt.

Nun folgen Zahlenpaarungen, welche kein Satzsignal darstellen:

Zahlenpaarung 28 – 29 – 26
Zwar weisen die 28 und die 26 eine Differenz von 2 auf, jedoch weist auch die 29 eine Differenz von nur 1 zur 28 auf. Diese sind allerdings nicht durch einen weiteren Coup unterbrochen. Voraussetzung für ein Satzsignal ist, dass die Zahl, welche zwischen den beiden in Frage kommenden Zahlen einen um mindestens 3 höheren oder niedrigeren Wert aufweist.

Zahlenpaarung 21 – 12 – 36 – 19
Die 21 und die 19 haben eine Differenz von 2, jedoch sind diese beiden Zahlen von zwei Coups getrennt.

Nach der Theorie von Markov würde es nun bedeuten, dass innerhalb der nächsten fünf Coups wiederum eine Zahl erscheint, welche entweder eine der ermittelten Zahlen selbst ist oder zu den beiden ermittelten Zahlen eine Differenz von maximal ±2 aufweist.

In Beispiel 1 von oben wäre nach der Abfolge 19 – 35 – 18 auf die Zahlen 16, 17, 18, 19, 20 und 21 zu setzen. Diese Zahlen werden jedoch nicht einzeln „en plein“ gesetzt, sondern es werden die zu den zu setzenden Zahlen die entsprechenden Chancen ausgewählt. In diesem Fall würde auf die Transversale Simple 18-21 gesetzt.

Bei einer Abfolge, welche die 0 beinhaltet, sieht die Vorgehensweise für einen Einsatz wie folgt aus:

Die Abfolge besteht zum Beispiel aus 36 – 21 – 1. Es sind die beiden ermittelten Zahlen zu setzen und jene Zahlen, welche im Bereich von ±2 zu diesen beiden Zahlen liegen. Dies beinhaltet auch die Zahl, welche zwischen den beiden ermittelten Zahlen liegt, in diesem Fall also die 0. Es sind somit die Zahlen 34 – 35 – 36 – 0 – 1 – 2 – 3 zu setzen. Es ergäbe sich ein Satz auf die „Ersten Vier“ und die Transversale Pleine 34-36.

Die zu setzenden Chancen sind stets so auszuwählen, dass so wenige Jetons als möglich gesetzt werden müssen.

Gespielt werden maximal fünf Coups. Wird innerhalb dieser fünf Coups kein Gewinn erzielt, wird das Spiel mit Verlust beendet und erneut auf eine Konstellation nach Markov gewartet.

Nach einem Gewinn können weitere Einsätze folgen. Es hat sich gezeigt, dass in diesem Falle innerhalb der nächsten fünf mit einem weiteren Gewinn auf eine der gesetzten Zahlen zu rechnen ist.

Ein weiteres Beispiel soll dies verdeutlichen.

22
26
4
	25
	9
10
	16
	23
	27
26

Die beiden Zahlen 26 und 25 ergeben ein Satzsignal. Es wäre auf die Zahlen 23, 24, 25, 26, 27 und 28 zu setzen. Hierfür würde 1 Jeton auf das Carré 23/24/26/27 und 1 Jeton auf das Cheval 25/28 gesetzt.

Die ersten drei Sätze würden verloren, der Saldo beträgt in diesem Fall -6 Jetons. Dann würden drei Gewinne anfallen, jeweils auf das Carré. Der Gewinn beträgt dann 21 Jetons, abzüglich der insgesamt 6 Jetons aus den ersten drei Sätzen, dies ergibt einen Gesamtgewinn von 15 Jetons.

[dolomon]

@Danke Merlin
ich habe zwar diese "Gesetzmäßigkeit" gesehen und mich gewundert über diese "Wiederholungen. Bin aber überrascht das Markov hier eine Gesetzmäßigkeit erkennen will.
Im Moment nutze ich dieses aus indem ich nach Zero > Zero 2 2 , zwei Mal setze. Und oft habe ich damit getroffen.
Gruss Dolo

[Merlin]

Hallo dolomon,

Zitat von dolomon

ich habe zwar diese "Gesetzmäßigkeit" gesehen und mich gewundert über diese "Wiederholungen. Bin aber überrascht das Markov hier eine Gesetzmäßigkeit erkennen will.

Ob es sich um eine Gesetzmäßigkeit handelt, dessen bin ich mir nicht sicher. Man müsste einmal eine längere Auswertung hierüber erstellen. Bekannt ist dieses Phänomen der Markov-Ketten mehr unter dem Begriff "Das Markov-Modell". Wer am Roulettetisch nach diesem Phänomen einmal Ausschau hält, wird jedoch feststellen, dass dieses eigenartige Auftreten der Zahlen durchaus vorhanden ist und auch bespielbar ist.

Die gesamte Mathematik zu diesem Modell ist hier nachzulesen, sofern man unzählige Formeln studieren möchte:

Facharbeit Mathematik

Ich möchte zu den Satzsignalen noch eine Besonderheit hinzufügen. Die Zahl, welche unmittelbar vor der Bildung einer Signalpaarung erschienen ist, darf ebenfalls nicht im Geltungsbereich des Abstandes von ±2 liegen. Auch hierzu ein konkretes Beispiel:

13
	14
	30
	14

Hierbei zählt die Paarung 14 - 30 - 14 nicht als Satzsignal, da unmittelbar vor der ersten 14 die 13 erschienen ist, welche ja auch im Geltungsbereich zur Satzfindung liegt.

Ginge die Permanenz wie folgt weiter, so ergäbe sich einen Coup später jedoch ein Satzsignal:

13
	14
	30	←
	14
28		←

Als Signalpaarung ergibt sich 30 - 14 - 28, es wäre also auf die Zahlen 26, 27, 28, 29, 30, 31, und 32 zu setzen. Diese Zahlenfolge kann man nun auf verschiedene Weisen setzen:

1. Über die beiden Chevaux 26/27 und 31/32 sowie die Transversale Pleine 28-30, was einen Einsatz von 3 Jetons erfordert, oder
2. über die beiden Carrés 26/27/29/30 und 28/29/31/32, was einen Jeton an Einsatz einspart. Wohl denn, wenn die 29 erscheint.

[Wellenreiter61]

Hallo Merlin

um es das Setzen einfacher zu machen, könnte man auch hergehen und einfach zu den ermittelten Zahlen die zwei korrespondierenden TS setzen. Außer dem vereinfachten Satz und der besseren Überwachung des Satzes hätte man noch den Vorteil, dass Treffer auf den anderen Zahlen, die nicht zur Markovkette gehören, Gewinne einfährt.

Bei Treffern in den ersten beiden Sätzen könnte man auch so weiter auf weitere Treffer spielen, trifft man in den ersten beiden Sätzen nicht, dann kann man immer noch mit der Chancen-Degression arbeiten und sich so den ermittelten Zahlen nähern. Oder aber man benutzt nach Treffern die Chancen-Degression, das wäre auch mal ein interessanter Ansatz.

Ein anderer Vorschlag von mir ist, das ganze mal nicht mit der natürlichen Zählung der Zahlen zu versuchen, sondern nach der Anordung der Zahlen im Kessel. Wenn man die Reihenfolge der Zahlen im Kessel nicht auswendig kennt, muss man sich diese eben auf einen kleinen Zettel schreiben. Das scheint mir jedenfalls der logischere Ansatz zu sein, da die Zahlen im Kessel eben nicht 1/2/3/4/5 usw. angeordent sind. Die ursprünglichen Gedankengänge der Markovketten gingen von der natürlichen Anordnung aus, die ist aber doch im Roulettekessel so nicht gvorhanden.

Dann käme das Spiel einem Favoritenspiel auf einen Kesselsektor gleich, der kurzfristig bevorzugt ist. Der Kessel würde dann auch nicht einfach nach bestimmten starren Regeln in Sektoren mit der gleichbleibenden Anzahl von Zahlen eingeteilt werden, sondern nach den Regeln, wie sie der Zufall im Moment vorgibt. Der Nachteil wäre dann eben, dass man wahrscheinlich überwiedend Pleinzahlen zu setzen hat. Da man aber einen Kesselsektor bespielt, brauchen die Stücke nicht unbedingt selbst ausgesetzt werden, man kann dann eine Kopfzahl mit Nachbarn annoncieren und ein zusätzliches Stück einzeln ansagen.

Wellenreiter

[Merlin]

Hallo Wellenreiter,

schön, dass Du Dich nun doch hier angemeldet hast .

Zitat von Wellenreiter61

um es das Setzen einfacher zu machen, könnte man auch hergehen und einfach zu den ermittelten Zahlen die zwei korrespondierenden TS setzen. Außer dem vereinfachten Satz und der besseren Überwachung des Satzes hätte man noch den Vorteil, dass Treffer auf den anderen Zahlen, die nicht zur Markovkette gehören, Gewinne einfährt.

Eine gute Idee, wir könnten das bei unserem nächsten Spielbankbesuch einmal versuchen.

Zitat von Wellenreiter61

Ein anderer Vorschlag von mir ist, das ganze mal nicht mit der natürlichen Zählung der Zahlen zu versuchen, sondern nach der Anordung der Zahlen im Kessel.

Grundsätzlich könnte das zwar stimmen, was sich aber nach meiner Ansicht nach nur dann auswirken kann, wenn der Kessen tatsächlich einen Fehler aufweist. Zwar gibt es sicherlich keinen perfekt uafgestellten Kessel, da gibt es sicherlich auch erlaubte Toleranzgrenzen, aber ich denke, diese sind so eng gesetzt, dass sich dies auf dieses Spiel nicht auswirken wird. Darüber hinaus schrecke ich vor der Buchführung zurück.

Ich denke eher daran, dieses Markov-Phänomen zu kürzen und auf die Transversale Pleines zu übertragen. So hätte man nur insgesamt 14 Zahlen, die man beachten müsste, Zero wäre ebenso mit abgedeckt, eventuell sogar doppelt oder gar dreifach. Man käme durch eine Übertragung auf die TVP häufiger zu einem Einsatz, bei guter Auszahlung.

Generell möchte ich noch eine Aussage von Markov hinzufügen, welchje ich letztens in Netz gefunden habe. Diese These auf das Roulette übertragen ist allerdings ziemlich gewagt, möglicherweise löse ich damit eine Grundsatz-Diskussion aus:

The distant past is irrelevant given knowledge of the recent past.

Zu deutsch bedeutet dies, dass die weit zurück liegende Vergangenheit (The distant past) uninteressant ist, jedoch in der kürzlich zurück liegenden Vergangenheit (The recent past) die Erkenntnis steckt. Markov hat also zwei verschiedene Vegangenheiten unterschieden!

Legt man diese Aussage von Markov nun auf das Roulettespiel um, so könnte man die gewagte Behauptung aufstellen, dass die Kugel doch nicht vollständig unwissend ist, zumindest wäre ein Kurzzeitgedächtnis der Kugel vorhanden. Dies wäre auch ein Argument für ein Tendenzspiel, da dort Angriffe meist kurz gehalten werden bzw. solange fortgesetzt werden, wie eine Tendenz anhält.

Als ein Beispiel möchte ich eine Schwarz-Tendenz anführen. Zum Beispiel kann diese Tendenz über 25 Coups anhalten, bis diese abbricht. Dieser Abbruch bedeutet jedoch keinesfalls ein sofortigen Umschwenken auf eine Rot-Tendenz, es kann sich ein ausgeglichenes Spiel über 50 Coups hinweg andiese Schwarz-Tendenz anschließen. Nach diesen 50 Coups des ausgeglichenen Spielverlaufs muss sich immer noch keine Rot-Tendenz bilden, es kann ebenso wiederum auf eine Schwarz-Tendenz gehen. Somit liegt die erste Schwarz-Tendenz dann in der weit zurück liegenden Vergangenheit. Der ausgeglichene Spielverlauf befindet sich in der kürzlich zurück liegenden Vergangenheit.

Jedoch steht diese Aussage im Gegensatz zu den Regeln des Zufalls. Denn ist eine Serie auf Schwarz der Länge 20 erschienen, so wird der Zufall gezwungen sein, dieser 20er-Serie irgendwann eine 20er-Serie auf Rot gegenüber zu stellen.

Wobei dies nicht hiermit zu verwechseln ist, dass der Zufall einen Ausgleich der Chancen sicherstellen muss! Ist zum Beispiel durch diese 20er-Serie auf Schwarz ein Ungleichgewicht in den Chancen Schwarz-Rot entstanden, so kann der Zufall dieses Ungelichgewicht auch anders ausgleichen. Aber eben so wie der Zufall den Ausgleich in den Chancen-Verhältnissen gewahren muss, so muss er eben auch eine Ausgewogenheit in den Längen der Serien gewahren.

Während später der Zufall diese Serienlänge ausgleicht - der Zeitpunkt hierzu ist unbestimmt - kann er in dieser Phase des Ausgleich der Serienlänge zwei unterschiedliche Dinge tun:

Erstens kann er ein Ungleichgewicht in den Chancen verursachen,
zweitens kann trotzdem ein Ausgleich der Chancen-Verhältnisse stattfinden, da sich ein Verhältnis zugunsten von Schwarz eben durch eine Tendenz langsam - fast unmerklich - gebildet hat.

Oder ist dies auch mit dem Phänomen der weit zurück liegenden Vergangenheit und der kürlich zurück liegenden Vergangenheit zu erklären?

Gerrne würde ich hierzu einmal die Meinungen anderer Mitglieder lesen.

Viele Grße

Merlin

[Danny]

Huhu

ich hab' 'n paar Beitraege aus dem Thema dorthin in 'n neues Thema verschoben:

Abbruch des Dreiers

Ich hoff', 's nimmt mir niemand uebel, aber das passt doch in 'n eigenes Thema besser, hab' ich mir gedacht..............

bis denne

liebe Gruesse

Danny

[Lagor]

im endeffekt ist es aber eben nur ne wahrscheinlichkeit. kann also auch einige spiele gar nicht auftreten und dann dauernd. deshalb sollte man nicht zuviel riskieren.

[Wellenreiter61]

Hallo

meine Frage richtet sich an und für sich an unseren ausgewiesenen Markov-Fachspezialsten @ettmo , wenn jemand anderes eine Antwort hat, nur her damit.

Wir hatten ja verschiedene Möglichkeiten vorgeschlagen, wie man setzen könnte, am sinnvollsten erschien mir bislang eine Chancen-Degression angefangen bei zwei Transversale Simples. Nun meine Frage an den Experten:

Ist das überhaupt sinnvoll? Der Vorteil liegt darin, dass dabei Treffer mitgenommen werden, wenn Zahlen erschienen, die nicht im Bereich der Markov-Kette liegen.

Andererseits hat mich Merlins Beitrag im Kesselsektoren-Thread nachdenklich gemacht. Könnte es u. U. sinnvoller sein, drei Transversale Pleins zu setzen, diese nur über maximal drei Coups, vielleicht mit einer Progression 2-2-1?

Oder anders dumm gefragt, was empfiehlt bei der Satzermittlung wie in diesem Thread beschrieben der Experte?

Beste Grüße vom Wellenreiter