37 Zahlen

[Der große Zweifler]

Sacht mal Leute, wenn die Croupies die Kugel 37 mal werfen, ist es fast unmöglich, dass 37 verschiedene Zahlen kommen, Betonung liegt auf fast, 2/3 Gestez und so. Klar, meistens kommen 23, 24, 25 Zahlen, mit mehr oder weniger großen Schwankungen. Ist es tatsächlich unmöglich, dass alle Zahlen in 37 Spielen kommen, oder ist das (zumindest theoretisch) doch möglich? Kann man das ausrechnen? Wegen der Schwankung kommen doch schon mal 29 Zahlen.

Der Zweifler

[hebbe]

Zitat von Der große Zweifler

Sacht mal Leute, wenn die Croupies die Kugel 37 mal werfen, ist es fast unmöglich, dass 37 verschiedene Zahlen kommen, Betonung liegt auf fast, 2/3 Gestez und so. Klar, meistens kommen 23, 24, 25 Zahlen, mit mehr oder weniger großen Schwankungen. Ist es tatsächlich unmöglich, dass alle Zahlen in 37 Spielen kommen, oder ist das (zumindest theoretisch) doch möglich? Kann man das ausrechnen? Wegen der Schwankung kommen doch schon mal 29 Zahlen.

Der Zweifler

Unmöglich ist bei Roulete nichts. Alle 37 Zahlen können durchaus in 37 Coups erscheinen, nur ist die Wahrscheinlichkeit dafür ziemlich gering. Es gibt dafür nur 37 Möglichkeiten aus 37^37. Über die Poissonverteilung kann man das berechnen und das 2/3-Gesetz mathematisch herleiten. Ich würde dazu etwas schreiben, allerdings weiß ich nicht, wie ich die Formeln sinnvill und verständlich darstellen kann, z.B. wie bei Wikipedia. Vielleicht hat jemand eine Lösung dafür?

hebbe

[Harvey]

Hallo hebbe,

Zitat von hebbe

Ich würde dazu etwas schreiben, allerdings weiß ich nicht, wie ich die Formeln sinnvill und verständlich darstellen kann, z.B. wie bei Wikipedia. Vielleicht hat jemand eine Lösung dafür?

Die Formeln bei Wikipedia sind als gif-Grafiken eingefügt. Vielleicht gibt es dort die benötigten Formeln, diese Grafiken sind meines Wissens frei verwendbar. Anderenfalls kannst Du die Formeln online unter http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php erstellen, dies benötigt allerdings möglicherweise eine gewisse Einarbeitungszeit. Nach dem Erstellen der Grafik kannst Du diese speichern und als Anhang einfügen oder aber den Code, der automatisch erzeugt wird, kopieren und in den Beitrag einfügen.

Du kannst die Formeln zur Not auch an mich schicken, dann erstelle ich die Grafiken, da ich damit leidliche Erfahrung habe und füge sie in Deinen Beitrag ein.

Gruß

Harvey

[hebbe]

@Harvey

danke für den Tip. Ich werde mir das ansehen und im Testbereich meine Versuche einstellen. Dann kann die Antwort etwas dauern.

hebbe

[ettmo]

Zitat von Der große Zweifler

Sacht mal Leute, wenn die Croupies die Kugel 37 mal werfen, ist es fast unmöglich, dass 37 verschiedene Zahlen kommen, Betonung liegt auf fast, 2/3 Gestez und so. Klar, meistens kommen 23, 24, 25 Zahlen, mit mehr oder weniger großen Schwankungen. Ist es tatsächlich unmöglich, dass alle Zahlen in 37 Spielen kommen, oder ist das (zumindest theoretisch) doch möglich? Kann man das ausrechnen? Wegen der Schwankung kommen doch schon mal 29 Zahlen.

Der Zweifler

Hi, @Der große Zweifler und weitere Zahlen-Junkies.


Beispiel Würfel, da ist's relativ einfach zu verstehen, also 1 aus 6 statt 1 aus 37:

P = Wahrscheinlichkeit, P- = Gegenwahrscheinlichkeit.

1. Wurf: Irgendeine Zahl, z.B. "3", also P = 1 für irgendeine Zahl.

2. Wurf: P für "3" = 1/6.

P- für "3" = 1-1/6 = 5/6

Oder anders: P für 1,2,4,5,6 ist 1/6, insgesamt 5mal 1/6 = 5/6, dass die "3" nicht fällt.

3. Wurf: P- = 4/6, dass die "3" und die "6" NICHT kommen sondern 1 od. 2 od. 4 od. 5.

4. Wurf: P- = 3/6
5. Wurf: P- = 2/6
6. Wurf: P- = 1/6

6. Wurf nochmal, P = 1/6 dass nur die noch fehlende Zahl kommt.

INSGESAMT:

6/6 * 5/6 *...* 1/6 = 1/64.8

Praxis:

Wenn wir 70mal würfeln und die Zahlen aneinanderschreiben, dann ist - im Mittel - eine 6er Kette drunter mit lauter verschiedenen Zahlen, z.B. 3-6-1-2-5-4.


Roulette, 1 aus 37:

Statt ca. 1/65 haben wir ca. 1/766.879.127.067.901, dass eine 37-er Folge alle verschiedene Zahlen von 0-36 hat.



Ciao, ettmo,

[Serienknacker]

Zitat von hebbe

Unmöglich ist bei Roulete nichts. Alle 37 Zahlen können durchaus in 37 Coups erscheinen, nur ist die Wahrscheinlichkeit dafür ziemlich gering. Es gibt dafür nur 37 Möglichkeiten aus 37^37. Über die Poissonverteilung kann man das berechnen und das 2/3-Gesetz mathematisch herleiten. Ich würde dazu etwas schreiben, allerdings weiß ich nicht, wie ich die Formeln sinnvill und verständlich darstellen kann, z.B. wie bei Wikipedia. Vielleicht hat jemand eine Lösung dafür?

hebbe

@hebbe

Wie ich gerade sehe hat Ettmo bereits die richtige Lösung gepostet : 1 / 766.879.127.067.901

Mit Deiner Aussage :

Es gibt dafür nur 37 Möglichkeiten aus 37^37.

liegst Du also nur ganz knapp daneben. Du hast lediglich das ! vergessen. Es sind nämlich 37! / (37^37) = (37*36*35*...*4*3*2*1) / (37^37) Möglichkeiten.

Gruß
Serienknacker

[hebbe]

Nun haben sich einige eingefunden, um die Mathematik zu den 37 Zahlen zu erklären .
Ich war noch nicht fertig, weil ich die Formeln einbringen möchte die ich aus Büchern kenne, aber trotzdem danke.

Zitat von Serienknacker

liegst Du also nur ganz knapp daneben. Du hast lediglich das ! vergessen. Es sind nämlich 37! / (37^37) = (37*36*35*...*4*3*2*1) / (37^37) Möglichkeiten.

Das ist richtig, ich wollte es nur anders ausdrücken. Und zwar:
Von den insgesamt möglichen Kombinationen der Ereignisse, die auftreten können, existieren nur 37! positive Möglichkeiten für das Ereignis, dass in 37 Coups 37 verschiedene Zahlen auftreten. Dafür ist die Wahrscheinlichkeit:



Ich hoffe, ich habe mich beim eintippen der Nullen nicht vertan. Damit wäre das Ereignis, dass man beim Lotto mit jeweils nur einem Tipp zweimal einen Secher bekommt, noch wahrscheinlicher.
Gefragt wurde zwar nicht danach, passt aber meines Erachtens gut zur Überschrift "37 Zahlen", wenn man noch einige andere Fragen kären würde.
Wir wissen aus der Praxis am Roulettetisch und obiger Berechnung, dass wir kaum 37 Zahlen in 37 Coups erleben werden. Vielmehr verhält sich die Anzahl der Zahlen durchschnittlich nach dem 2/3-Gesetz. Wie lässt sich dies berechnen?
Da die Anzahl der erschienenen Zahlen eine zufällige Größe ist, wie groß ist dann deren Erwartungswert? Nimmt man eine bestimmte Zahl, läßt sich mit den Formeln der Binomial-Verteilung ausrechnen, wie wahrscheinlich die Ziehungshäufigkeiten bei dieser Zahl sind. Ist X die Anzahl der Treffer, ist die Wahrscheinlichkeit



dass bei n Coups k Treffer auf diese Zahl auftreten gleich



Konkret ist die Anzahl der Versuche n = 37 und die Wahrscheinlichkeit p = 1/37.

hebbe

P.S.
Danke an Harvey mit dem Tip für den Formeleditor. Etwas schwerfällig ist dieser handzuhaben, aber es ging.

[Serienknacker]

Zitat von hebbe

Wir wissen aus der Praxis am Roulettetisch und obiger Berechnung, dass wir kaum 37 Zahlen in 37 Coups erleben werden. Vielmehr verhält sich die Anzahl der Zahlen durchschnittlich nach dem 2/3-Gesetz. Wie lässt sich dies berechnen?

@hebbe

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl in einer Rotation mindestens einmal erscheint ist 1 - (Wahrscheinlich, dass die Zahl nicht erscheint). Dass eine Zahl nicht erscheint bedeutet, dass sie in 37 Coups hintereinander nicht erscheint, also 37 mal eine der anderen 36 Zahlen erscheint = (36/37)³⁷.
Die Anzahl der zu erwartenden Zahlen in einer Rotation ist also 37 * (1 - (36/37)³⁷) = 23,5745.

Hier die grafische Auswertung über 40.000.000 Coups für Roulette mit und ohne Zero :




Gruß
Serienknacker

[hebbe]

Hallo Serienknacker,

danke für Deine Grafik, sehr schön und auch richtig, was Du schreibst. Ich war allerdings mit einem Geschreibsel noch nicht am Ende. Ich wollte auf etwas anderes hinaus, die Ergebnisse werden annähernd dieselben sein.

Denn neben der Möglichkeit, die Normalverteilung zu verwenden, bietet sich eine Näherung an, die Poissonverteilung. Im Prinzip bedeutet die Poisson-Verteilung, dass die Wahrscheinlichkeit in 37 Coups eine bestimmte aller Zahlen zu treffen annähernd unverändert bleibt, wenn die Gesamtanzahl der möglichen Ziehungsergebnisse und die Anzahl der Versuche gleichmäßig vergrößert wird. Bei 100 Zahlen ergeben sich bei 100 Ziehungen für die Wahrscheinlichkeiten



annähernd dieselben Ergebnisse. Anhand der Formel der Binomialverteilung läßt sich das zu Grunde liegende Prinzip herleiten. Man geht davon aus, dass das Produkt aus einer Versuchszahl n und Wahrscheinlichkeit p im Einzelversuch, λ = np, einen festen Wert hat, hier λ = 1. Ersetzt man nun die Wahrscheinlichkeit p durch den Ausdruck λ/n, erhält man diese Gleichung:



Egal wie genau die Näherungen im Einzelfall sind, sie können für sich betrachtet als Wahrscheilichkeits-Verteilung einer Zufallsgröße Y angesehen werden. Der Wertebereich umfasst die natürlichen Zahlen k = 0, 1, 2, ..., dadurch ist die Wahrscheinlichkeits-Verteilung nach Poisson durch die Formel


gegeben.

P.S.
@Serienknacker , ich hoffe, ich habe keine Fehler in den Formeln, es ist anstrengend diese zu erstellen. Ich bin auch noch nicht ganz am Ende angelangt.

[Der große Zweifler]

Leute, Leute, nun zweifle ich doch. Kann es sein, dass ihr leicht sadistisch veranlagt seid? Zahlen und Buchstaben, Formeln und Brüche, ich glaube, so genau wollte ich es gar nicht wissen. Trotzdem danke erst mal für eure großartige Mühe.

Der Zweifler